若有一隨機變數的值域 $S_X$ 為不可數個的話 , 則稱他為連續型隨機變數 , 而在本篇中要探討的是單 (多) 變數連續型隨機變數的機率函數以及其性質的觀念

單變數連續型

機率密度函數 (p.d.f)

• 定義：

假設 $r.v.X$ 為連續型 , 其值域為 $S$ , 如果其中有一塊 $E$ 為 $S$ 的部份集合的話 , 而他的機率密度函數為 $f_X(x)$ , 則會滿足 $p_X(E)=\int_{x\in E}f_x(x)dx$

單變數機率密度函數本身的機率意義薄弱 , 他的單位為 $1/m$ , 因此若想從機率密度函數身上得到機率的話 , 還必須做一重積分 , 就如同上面所寫的 $p_X(E)=\int_{x\in E}f_x(x)dx$

• 必要條件：

(1) $f_X(x)\geq 0,\ \forall x\in R$ (密度恆非負)

(2) $\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)dx=1$ (總機率為 1)

(3) $p[X=x]=0, \forall x\in R$ (連續型隨機變數沒有單點機率值)

(4) $p[a<X\leq b]=\int_{a}^bf_X(x)dx$

連續型隨機變數並沒有單點機率哦 , 離散型才會有單點機率 , 因此連續型的機率一定會來自一段區間範圍

累積分佈函數 (c.d.f)

• 定義：

假設 $r.v.X$ 的機率密度函數為 $f_X(x)$ , 則他的累積分佈函數為 $F_X(x)=p[X\leq x]=\int_{-\infty}^xf_X(x)dt$

• 必要條件：

(1) $0\leq F_X(x)\leq 1,\ \forall x\in S$ (機率介於 0 到 1 之間)

(2) $F_X(\infty)=1$ (涵蓋所有積分區域)

(3) $F_X(-\infty)=0$ (不涵蓋積分區域)

(4) $x_1<x2 \rightarrow F_X(x_1)\leq F_X(x_2)$ (因為 $F_X(x)$ 為非遞減函數)

(5) $p[X>x]=1-F_X(x)$

(6) $p(a<X\leq b)=F_X(b)-F_X(a)$

• 性質：

連續型的累積分佈函數經過微分後可以得到機率密度函數 , 可由微積分第一定理得到 $\frac{dF_X(x)}{dx}=f_X(x)$

未完待續…